Kumpulan Jawaban Tugas Struktur Aljabar II

Halo! Berikut ini adalah jawaban tugas Struktur Aljabar II yang akan diupdate secara berkala. Silakan diunduh dan dipelajari. Terima kasih!

Tugas 1 part 1

Ideal Prima

A disebut ideal prima di ring R jika untuk setiap a, b di R dengan ab di A mengakibatkan a di A atau b di A.

Lemma Euclid

Jika p adalah bilangan prima yang membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.

Bukti:

Andaikan p adalah bilangan prima yang membagi ab tetapi tidak membagi a. Karena p tidak membagi a maka terdapat bilangan bulat s dan t sedemikian hingga 1=as+pt. Dengan demikian b=sab+tpb. Karena p membagi ab maka ab=mp dengan demikian b=smp+tbp. Ini artinya b=(sm+tb)p atau dengan kata lain p membagi b.

Contoh Ideal Prima

Ideal nZ merupakan ideal prima jika dan hanya jika n prima.

Bukti:

• Akan dibuktikan jika n prima maka nZ prima. Jika n prima dan ab di Z maka berdasarkan Lemma Euclid maka n membagi a atau n membagi b. Dengan demikian a di nZ atau b di nZ.
• Akan dibuktikan jika nZ prima maka n prima. Andaikan n tidak prima maka n=st untuk suatu s<n dan t<n. Dengan demikian st ada di nZ padahal s dan t masing-masing tidak di nZ. Kontradiksi dengan nZ prima. Jadi haruslah n prima.